Статистическое прогнозирование параметров

Решение задачи ‘Прогнозирования случайной после­довательности в интересах предсказания изменения контролируемых параметров авиатехники имеет две спе­цифические особенности. Они заставляют решать эту задачу не так, как во многих классических исследова­ниях.

Первая особенность заключается в том, что задачу можно считать решенной, если создан удобный алго­ритм обработки исходных данных для построения прог­ноза «а ЭВМ. Требования к простоте реализации расче­тов в условиях эксплуатирующей организации заставля­ют при этом добиваться того, чтобы окончательная формула прогноза имела простейший вид. Вместе с тем алгоритм предварительной обработки исходных данных для расчета коэффициентов окончательной формулы может быть как угодно сложен. Реализуется он на ЭВМ, устанавливаемых в территориальных управлениях ГА, а время расчетов из-за больших’ интервалов между измерениями лимитировано не жестко.

Второй особенностью прогнозирования параметров авиационной техники является то, что априори не из­вестны статистические характеристики наблюдаемых случайных последовательностей результатов эксплуата­ционного контроля. Единственной априорной информа­цией является набор результатов измерений на несколь­ких однотипных ЛА {х5,}. Требование простоты расчетов в эксплуатирующих организациях заставляет отказать­ся от учета в решении задачи прогнозирования стоха­стических связей, характеризуемых моментами высших порядков.

Повышение точности и достоверности предсказания при снятии этого ограничения из-за применения нели­нейного прогноза обходится слишком дорого. Использо­вание нелинейных методов выдвигает очень жесткие требования к объему исходных данных {xh}, поскольку приходится использовать значения моментов высших порядков, которые определяются достаточно точно толь­ко при сотнях наблюдений в каждом /-м столбце матри­цы {xii). Вместе с тем прогноз, обеспечивающий мини­мум ‘среднего квадратического отклонения, может стро­иться как линейный и дает в наиболее практически ин­

тересном случае, когда распределение гауссовское, наилучший результат.

Учет недостаточной представительности имеющихся исходных данных {лф} и простейший вид окончательной формулы для прогноза — основные особенности пред­лагаемого в этом параграфе метода прогнозирования изменения параметров авиационной техники по ограни­ченной статистике, собираемой при ее эксплуатации.

При расчете статистических характеристик наблюда­емого’ случайного процесса х* в предыдущих параграфах были получены все необходимые данные для прогнози­рования. Однако оценки математического ожидания р; и коэффициентов pj в выражении спектральной плотно­сти f(k) определялись по отдельности. При расчете р, и Ог методом наименьших квадратов и статистик (2.11), (’2.15) предполагалось, что отклонения от линии регрес­сии — независимы по І, а уравнения для определения коэффициентов ((За и статистика (3.7) строились в пред­положении равенства нулю математического ожидания Лі(|г. Когда эти предположения не справедливы, необхо­димо применить для вычисления рг и (Зв метод после­довательных приближений и, следовательно, рекуррент­ный алгоритм счета. Рекуррентность алгоритма и даль­нейшие формулы станут понятней, если иметь в виду следующее. Набор реализаций_х получающийся по ре­зультатам эксплуатационного контроля, не может счи­таться набором независимых по } случайных последова-. дельностей. Он содержит детерминированную составляю-, щую, характеризующую старение всех объектов и имею­щую общую для всех / структуру. Общими для них будут и корреляции отдельных измерений. Независимыми ока­жутся лишь составляющие ы во всех реализациях, но, выделить их можно, только вычислив все Ре и уц. Неза­висимость хі существенна при построении критерия типа

(3.7) — сразу по всем реализациям с номерами / от 1 до N. Независимость по — і отклонений (лф — р,) наблюдае­мых случайных последовательностей от общего матема­тического ожидания необходима при построении про­цедуры отыскания выравнивания — ц и оч — Невыполнение этого условия в реальном исходном материале и являет­ся причиной рекуррентности предлагаемого алгоритма построения прогноза.

На первом шаге рекуррентной процедуры отыскива­ется ЛИНИЯ регрессии °Цг И ИЗМОНЄНИЄ разбрОСЭ (Гг по 84

методике, ‘изложенной в § 2.3 в предположении незави­симости по і значений случайных последовательностей:

°Ії= (хі — °Ці)/а{.

Индекс вверху слева — означает номер шага рекур­рентной процедуры поиска решения.

Далее находится зависимость отдельных рядом стоя­щих значений °g; на одной реализации, т. е. подсчиты­ваются коэффициенты авторегрессии °фе. Для этого необходимо решить систему уравнений типа (3.6). Ко­эффициенты системы (3.6) определяют по формулам: (3.5), где на каждом шаге используются значения новых последовательностей °|г-, ■ . . Число I на каждом шаге

выбирают в соответствии с критерием (3.7).

Адаптивная процедура поиска if} в, соответствующих исходному материалу, состоит в том, что сначала пола­гаем 1 = 0 и проверяем, укладывается ли °да0 в квантиль %2а, v с уровнем доверия а. Если не укладывается, то» рассчитывается °i(5i и вновь проверяется значение стати­стики °wі и т. д. На каком-то шаге °1 статистика °Ш;- укладывается в заданные пределы, что свидетельствует о соответствии исходных данных гипотезе Hi, т. е. о том,, что °%i зависит от Ч предыдущих наблюдений. После того как подсчитаны значения ЧРь 0р2, . . . , °(Ф из после­довательности %i можно выделить составляющую» ч.

°єг = 2 Pg ^—8 . значения которой независимы по /…

Для последовательности ег — справедлива та процедура — оценки регрессии, которая использовалась в § 2.3. При­менив ее здесь снова, получим сглаживание математн-. ческого ожидания °вг. :

8 = 0

где ‘Au — коэффициенты аппроксимации ‘.р,; по методу наи­меньших квадратов (коэффициенты регрессии); ср0 — значения по­линомов Чебышева порядка 0 — в І-й точке.

Теперь следует уточнить регрессию первоначального — набора результатов измерения параметров х, приняв ее — ра-виой Vi + Vicre. Уточнение это необходимо, если 1 q>°q или если ‘А0 значимо по сравнению с первона­чальной оценкой °А6 . Оценки коэффициентов регрессий Ае при применении для сглаживания ортогональных’

полиномов — независимые нормально распределенные случайные величины с дисперсией:

t,=l i2 —1

L L

2 2«

!, = 1 (,= 1

Уточнение линии регрессии на втором шаге У* незначи­мо на фоне. разброса °р; и его можно не проводить, если

< иаУ°Ы% 03-19)

где иа — квантиль нормального. распределения — В противном случае необходимо вновь повторить расчеты, начиная с решения уравнений (3.6) и вычисле­ния критерия (3.7), используя следующее (первое) при­ближение для последовательностей £,•:

(Хі — °Ці — Уше)Дг*.

Таким образом строятся рекуррентная процедура расче­тов по определению линии регрессии м и коэффициен­тов авторегрессии фе для случая, когда последователь­ность имеет зависимые по і значения. На каком-то конечном шаге этой процедуры, когда уточнения Мв окажутся незначимыми по критерию (3.19), можно пре­кратить расчет и полагать, что p.(=V»’+as(Vi + • • • + фв=й-1іРе.

Пример расчетов по изложенному рекуррентному — алгоритму применительно к частоте вращения ротора авиадвигателя дан в табл. 4. В третьей графе таблицы приведены экспериментальные значения разброса часто­ты iSi, а в шестой — сглаживание этого разброса а. ‘Сглаживание осуществлялось полиномом первой степе­ни, так как и1, записанные в пятой графе, незначимо отличаются от единицы.

>На начальном шаге сглаживания изменения матема­тического ожидания были получены следующие коэффи­циенты сглаживающего полинома: °А°=—0,34 и °А1 = = —0,03. Статистика и1=0,676 меньше, чем граничное значение для нее /о,95; v2 =1,54, a d°=3,i08 больше. На последующих двух шагах приближения значимым при­знавались лишь первые коэффициенты сглаживающего 86

і	т	Vst	и°	u>		Ч
1	■0,012	0,14’6	1,050′	‘1„€Ю	0,116	0,38
2	—!0і,’05і2	0,14	1,43	1,35	0,4162	0,41
3	—0,21	О,.163	0,19	1,32	O’,184	0,44
4	—0,29	iO.,T05	1,01	і1,Г5	0,1’бЄ	0,47
5	—10,47	0,1:77	0,97	1,12	0,1,68	0,49
■6	—0,,48	0,179	0„79	0,91	0,1-7.	0,53
7	—lOjoS-	0,1,32	■1,05	1,24	O’, 172	0,56
8	—0,66	0,174	0,124	1,34	0,174	0,59
9	—’0,70	0,177	1,07-	1,2,3	0,176	0,62
10	—0,68	0,181	0,95	1,13	0,1178	0,65
11	■—О,’66	0,181.	0,87	1,02	0,1©	0,68
’12	—■ 0,71′	0,183	0,78	0,9,2	0,182	0,71
13	•—’0,79	■0,186	1,06	1,25	ОД 84	0,74

полинома ]Л° =—0,24 и 2Л° = —0,17, так как статистика ■и°= 1,01 и 2v°= 1,39. На третьем шаге поправку 2Л° можно уже считать незначимой, так как она меньше, чем граница н0,95У7>[Л] = 0,215. Следовательно, для сгла­живания математического ожидания нужно использо­вать коэффициенты Л°=0Л° + 1Л0-сгє = 0,38 и Л^М^ = —0,03. Соответствующие этим коэффициентам значе­ния ці приведены в последней графе табл. 4.

При аппроксимации спектральной плотности для 1=1; $1= —0,42; игр = 362; для 1 = 2; фі = —0,36; р2= —0,2; au2 = 266. Поскольку граничное эиачение для статистики Wi равно здесь x2o,95,v = 294, в дальнейших расчетах при­нимается 1=2. Рекуррентная процедура сходится очень быстро. Практически никогда не приходилось делать более 3—4 шагов уточнения. Поэтому аналитические оценки скорости сходимости практического интереса не имеют.

Закончив определение с помощью рекуррентных про­цедур величин цг и $6 , нетрудно подсчитать наилучший прогноз для процесса х,-. Для этого достаточно преобра­зовать формулу (2.6) математической модели наблюдае­мого случайного процесса, считая в ней известными щ и ||3 о. Действительно, подставив в (2.1) выражение для в соответствии с (3.2), получим

_ I

*Ц = Цг + ц%г + (Тг 2 Ре^-0 + 4 • (3.2,0)’

0 —1

Умножение на масштаб а; переводит безразмерный про­цесс с единичной дисперсией. в модели (2.1) в размер­ный процесс с реальным средним квадратическим от­клонением. ‘С учетом (3.1) выражение (3.20) может ■быть записано в виде

= + 2 Ре ~z {М—в — Р-/ —в — рЛ + єц. (3.21)

е=1 г~е

В этом выражении следует выделить индивидуальную поправку

Случайный процесс ы будет образован набором неза­висимых по і случайных величия с — нулевым математи­ческим ожиданием как при осреднении по индексу но­мера измерений і для одного и того же объекта авиа­техники (y=const), так и при осреднении но индексу / для фиксированного времени наработки (i—const). Полная независимость отдельных значений на реализа­ции такого’ случайного процесса делает его предсказа­ние невозможным. Таким образом, среднее квадратиче­ское отклонение процесса ег и определяет ошибку прог­ноза ае.

л

Наилучший прогноз xh задается первыми тремя чле­нами выражения (3.21). В него входят:

— оценка общей для всех объектов данного типа измен­чивости математического ожидания р,/ и разброса гц в зависимости от наработки;

оценка сдвига конкретной у-й реализации относитель­но среднего для всех однотипных объектов, т. е. харак­теристика особенностей начальной настройки того объ­екта техники, для которого строится прогноз. Формула i(3.22) определяет значение этой поправки рР;

составляющая, учитывающая зависимость результа­та контроля в момент і от I предыдущих результатов контроля того же объекта xh-i, xh-2,. .., xh-i.

Для облегчения процесса счета в эксплуатирующей

Л,

организации можно рассчитывать прогноз xh, пользуясь формулой,

л л ■ Іг,1 і

= + І/Теі х{_в "f~ 2j ^g* ‘ (‘3-23)

0=1 0=1

которая получена из (3.21) простым приведением подоб­ных членов. Коэффициенты

Гг = Гг + 2 Тег Гг — йг 2 Ге

6=i е=1

могут быть предварительно подсчитаны на основании сведений о результатах эксплуатационного контроля {xii} любого параметра авиационной техники для всех

Л

моментов контроля. {При известных ц;, уы, hi наилучший линейный прогноз для /-го объекта будет определяться следующими величинами: результатами I предыдущих эксплуатационных проверок этого объекта xh-ь ; накоп­ленной суммой всех результатов предыдущих проверок

2 4.

е=1

Расчеты по формуле ‘(3.23) удобно проводить, поль­зуясь специальной формой. Пример такой формы для прогнозирования частоты вращения авиадвигателя дан в табл. 5. Строки 1, 7, 8, 9 заполняются заранее. В стро­ках 8, „9 и 7 стоят изменяющиеся по і коэффици­енты hi, у ег и цг формулы (3.23), по которой рассчиты­вается прогноз. Коэффициенты подсчитываются в цент­ре обработки данных контроля на основании результа­тов измерений параметра х, полученных от эксплуати­рующих организаций. Другие строки таблицы заполня­ются последовательно после получения результатов очередного контроля xh-. Прогноз в 13-й строке вычис­ляется как сумма цифр трех предыдущих строк. Если этот прогноз не укладывается в поле допуска, то необ­ходимо подрегулировать двигатель. Своевременная ре­гулировка максимальной частоты вращения ротора

Измеряемые и рассчитываемые параметры	Обозначения
1. Наработка номинальная	t, ч
2. Наработка фактическая	І, ч
3. Значение параметра	Хі, %
4. Сумма регулировок	2 Д Хі
5. Вспомогательные ‘	Хі -{-,2А#і
6. величины	2# $ — І~2 Д#ї
7. Коэффициенты для рас­чета прогноза	hi
8.	Yi і
Э.	їм
10. Результаты промежуточ­ных вычислений	hi (SXj-bSAXi) І
11.	ун (.Tt+2Axi)
12. Прогноз	Хі

0	1	2	3	4	5	6	7	в	9
0	■25	50′	75	ЮО:	1.2(5	150	’76	2»	2,25
0,566	Oi, fi®2	ОД 55	0,141	0,413	0,0(92	0,08-1	0,0170	O. Ofii	0,080
0,4315	0,43:5	0,435	0,43:5 ■	G,4i3d	0,435	0,435	0,435	0,435	0,43(5
—’ОД’	—0Д4	—0,18	—0,22	-0,25	-(0,30	—0,34	—O’,38	—0,42	—0,46

обеспечивает нужную тягу двигателя. Важность прогно­зирования частоты вращения вытекает из того, что дрос­сельная характеристика двигателя при частоте, близкой к максимальной, протекает очень круто.

Прогнозирование параметров авиатехники по изло­женной здесь методике обеспечивает удовлетворитель­ную точность. Приведем некоторые результаты провер­ки эффективности прогнозирования следующих пара­метров авиационной техники: п — частоты вращения ротора авиадвигателя; Т4 — температуры газов за тур­биной авиадвигателя; Р — тяги двигателя на стенде;

g — удельного расхода топлива; у ■— устойчивости гиро­скопа авиагоризонта с выключенной коррекцией; у —■ дрейфа гиродатчика инерциальной навигационной сис­темы; G — содержания железа в пробах масла, отби­раемых от двигателей. Большинство этих параметров измеряется в процессе эксплуатации при проведении регламентных работ. Интервал контроля № колеблется от 25 до 200 ч.

Погрешность измерения частоты вращения п с по­мощью эталонных приборов, имеющихся в АТБ, состав­ляют 0,1 % от номинального значения. Допуск на п составляет ~0,5 %. Точность измерения температуры Г4 — около 10° С. Установленный допуск на максималь­ную температуру 730 °С, тяга двигателя будет меньше нормы при Т4<670 °С. Кроме данных об изменении па­раметров в эксплуатации, для проверки эффективности прогнозирования использованы также результаты конт­рольных стендовых испытаний двигателей на заводах промышленности и на авиаремонтных предприятиях.

При проведении испытаний параметры регистрируют­ся на — каждом этапе, т. е. через Д7=25 ч. Точность изме­рения параметров на стенде немногим выше, чем в экс­плуатации. Как и при эксплуатационном контроле, от­ношение погрешности измерений к допуску на стенде составляет 1 : 5 или 1 : 6. Для уменьшения погрешности измерений все используемые в экспериментальных рас­четах данные приводились к стандартным условиям по температуре и давлению воздуха. Сведения о темпера­туре и давлении в момент измерений были собраны. Бели в эксплуатации параметр (например, п) регулиро­вался, то в соответствующие журналы учета записыва­ли его значение до и после регулирования. Чтобы изу­чить присущую двигателю динамику изменения пара­метров, значение регулировки с обратным знаком при­бавляли ко всем результатам контроля, выполненным после ‘регулирования двигателя. Эта операция нашла отражение в 5—7 строках табл. 5.

Перечисленные параметры авиадвигателя хорошо характеризуют состояние его газовоздушного тракта. Их контроль и прогнозирование в условиях эксплуати­рующей организации позволяют своевременно выявить и предотвратить многие дефекты в работе двигателей. Так, по падению частоты вращения двигателя неодно­кратно выявлялся прогар лопаток соплового аппарата турбины. При попадании большого количества пыли в двигатель М’еняется температура Ті.

Аналогичную роль при оценке технического состоя­ния авиационного оборудования играют параметры, ха­рактеризующие уход гироскопа. Они во многом опреде­ляют точность навигационных систем и пилотажных приборов.

Статистический материал тщательно проверялся на справедливость основных допущений, сделанных ранее. Результаты проверки на нормальность распределения приведены в табл. 2. Проверка осуществлялась тремя методами; по критериям Колмогорова, %2 и на основе ■оценок значений асимметрии и эксцесса. Как видно из материалов табл. 2, гипотеза о нормальности распре­деления результатов измерения всех параметров не про­тиворечит имеющимся исходным данным. Нормальность распределения проверялась для одного параметра при разных значениях наработки. С ростом наработки рас­пределение значений результатов контроля все более приближается к нормальному.

Эффективность методов прогнозирования проверя­лась по следующей методике. Из имеющихся данных {х^} выбирались лишь те результаты контроля, которые были получены ДО времени £г-_і=і(і— 1) At. На их осно-

Л

вании подсчитывался прогноз xh. Полученное значение сравнивалось с реальным xh. При сравнении определя-

Л 1 N

ли: Axh = xh — xh; М[Ах] = — 2 Ддф;

N /=і

■1 N

оз є = Д[Д. ї]= ———————————- 2 {hxh — М[Лл:])2, . (3.24)

N — 1 ] = 1

где AxU — ошибка прогноза течения параметра /-го объекта в момент времени І; М[Ах, D[Ах] — математичеокое ожидание и дис­персия ошибки прогноза в момент і.

Определяли также суммарную среднюю квадратиче­скую ошибку ‘прогноза

oD= V (M[Ax])*+D[Ax]. (3 25)

В качестве главной оценки эффективности использо­вано отношение средней квадратической ошибки прог­ноза (7П к разбросу исходных данных а в момент Ї:

Кэ. ф = Оп/оь (.3,26)

В табл. 6 приведены результаты анализа точности прогноза различных параметров авиатехники при равной наработке. Оценка эффективности дастся с использова­нием формул (3.24) — (3.26). Распределение ошибки прогноза на ЮО ч вперед частоты вращения ротора близко к нормальному (рис. 3.2). Математическое ожи­дание ошибки прогноза М[Дх] иногда меняет знак и, как правило, обусловливает небольшую часть суммар­ной квадратической ошибки оп. Таким образом, систе-

Таблица 6 Шр. шетр <Я 1 о о, CsJ *’ ‘Разброс ис­ходных дан­ных Ошибка прогноза Й <U „ оф І л Sell 0І—’ и О Рч VO § а p, t> Частота вращения ротора Г2‘5 ОД© —lO. OIOloi 0,0311 0,23 авиадвигателя, % 260 0′,Т9 0,015 0,028 0,17 .3175 0,22 —0,1 Ю’07’8 0.36 — Температура газов за тур- 125 1211 —1,3 4,6 0,22 биной авиадвигателя, °С 250 211 0,5 3,9 0,19 3715 211 1,0 7,1 0,34 Тяга авиадвигателя на стен- 20 0Д5′ —O’,037 0,04.3 0,29 де, % номинального значения 70 0,15 —0,016 0,016 0,4 145 0,15 0,012 Оуоаз 0,35 Уход гироскопа авиагоризон- 400′ ‘0,72 —0,049 0,43 0,60′ та с выключенной — коррекцией, 000 0′,’72 —’0,0152 0,36 0,61 °/5 мня 800 0,72 —0,025. 0,23 0,32 Дрейф гиродатчика инерщи- ЮО, 1,13 —0,002 ,0,109 0,,09:7 альной — системы в процессе за- И 200 1,,13 —0,05. 0,103 0,091 пуска, град/ч 1300 1„13 —’0,02 0,079 0,07 Содержание железа в про- 800 83 3,6 51,4 ‘0,-62 бах ‘ масла, отбираемого от 900 710 1*2 41,2 0,.:&8 авиадвигателя, г/т 1001» 67 2 47 0,7

Рис. &2. Гистограмма ошибки Рис. 3.3.. Модель оценки влия- прогноза частоты вращения ро — ния ошибок предсказания па- тора авиадвигателя раметра на эффективность прогноза

матической составляющей ошибка ‘прогноза не содер­жит.

Последняя графа в табл. 6 подтверждает хорошую эффективность прогноза во многих случаях, когда — КЭф^0,25—0,3. Для дрейфа гиродатчика и частоты вра­щения ротора авиадвигателя ошибка прогноза в 6— 8 раз меньше, чем разброс результатов контроля. Про­гнозирование с такой точностью уже имеет практиче­ский смысл, так как поле допуска часто сравнимо по значению с at. Таким образом, предложенную методику прогнозирования можно считать универсальной, т. е. применимой для разных классов авиатехники.

Накопленный в результате экспериментов опыт поз­воляет сделать некоторые рекомендации по выбору того или иного метода прогнозирования на основании анализа собранных сведений {хh] или результатов их обработки уц, о;, рЛ Rp. Например, в формулах (3.23) или (3.21) можно использовать не все слагаемые. Ис­пользуя для вычисления прогноза только некоторые слагаемые, применяем разные методы прогнозирования, дающие разную точность, но сопряженные и с вычисле­ниями разной сложности. Чтобы решить, какой вариант прогноза выбрать, .необходимо провести исследование прогнозируемоети (достигаемой точности прогноза) каж­дого параметра, а также требуемой точности для полез­ности прогноза параметра.

Для решения ‘О целесообразности практического прогнозирования параметра при заданной системе экс­плуатационного контроля ‘(периодичности измерений At, точности контрольно-поверочной аппаратуры и т. д.) необходимо знать, как уменьшится вероятность отказа (т. е. выхода параметра за поле допуска) в результате использования прогноза. Уменьшение вероятности отка­за при индивидуальном (для конкретного /-го объекта) прогнозировании будем оценивать, принимая следую­щую схему эксплуатации. При индивидуальном прогнозе е шагом, равным интервалу времени At между опера­циями контроля, в момент ti-і вычисляется прогнозируе­мое значение xh или вероятность Qi выхода за поле допуска к моменту следующего измерения іі=іі-і + Аі.

Если xh выходит за поле допуска или вероятность этого события. Qi превышает допустимое значение, произво­дится регулировка. При невозможности регулировки контролируемый агрегат заменяют. Таким образом, цель индивидуального прогноза при такой схеме экс­плуатации — сохранить в пределах поля допуска до очередной проверки значения параметров всех контро­лируемых объектов.

Вследствие ошибок прогноза параметры части объ­ектов могут выйти за границу поля допуска с некото­рой вероятностью необнаружения отказа Q. ‘Кроме того, с эксплуатации могут быть неправильно сняты некото­рые объекты, которые К моменту ti будут исправны по рассматриваемому параметру, а прогноз для них не уло­жится в поле допуска. Вероятность такой ошибки назо­вем вероятностью ложного отказа Р„.0.

Методика вычисления О и Рл. о аналогична решению задачи о влиянии погрешности измерения на правиль­ность определения состояния контролируемых объектов. Для получения оценок этих вероятностей удобно ис­пользовать модель рис. 3.3, где ft(x) — плотность рас­пределения параметра в момент Ї,-, если в момент U- отбраковка неисправных объектов с учетом индивиду­ального прогнозирования не проводится. Знание fi(x) позволяет выписать формулу (2.16) для вероятности отказа Q в момент ti. При идеально точном прогнозе в момент ti-1, если оє = 0, регулируются или бракуются ЛИШЬ те объекты, которые выйдут к моменту ti за поле

допуска, т. е. <2 = 0, Рл. о = 0. Но прогноз выполняется с ошибками, плотность распределения которых f(z) опре­деляется средним квадратическим отклонением сгп (так как систематическую ошибку М'[Ах] можно’ считать рав­ной нулю). При наличии ошибки вероятность выхода значения параметра за пределы Поля допуска и нахож­дения результата прогноза в допуске (т. е. вероятность ■необнаруження отказа при применении индивидуально­го ‘прогнозирования) может быть оценена следующим образом:

д *н— Д. І ^н+Да— х.

Q = J /,• (х) [ f{z)dzdx+

—оо хн—Aj—х

оэ Хн + Д„—х

+ J fi(x) J f(z)dzdx.

х,- Ап хп—Дн—х

Вероятность того, что при нахождении параметра в пределах допуска результат прогноза будет указывать на выход за пределы допуска, нетрудно оценить:

Д.,+Дв Хл—Д„—л:

Рц. о= j fi(x), J f(z)dzdx+

Хл——оо Xn-~AB. оо

+ J" fi(x) j f(z)dzdx хн—Дн хп^- Дв—х

Вероятность выхода за пределы поля допуска пара-

метра xh и прогноза для него xh, т. е. вероятность пра­вильной браковки в результате прогнозирования, может быть представлена в виде

Хп+К—Х

1 — J f (z) dz
хн—Д.,—х

При нормальном распределении параметра и ошибки прогноза (практически это верно почти всегда) все три

вероятности Q, Рл. о, Р определяются несколькими вели — 96

чинами: стп — — средней квадратической ошибкой прогно­за; А|л = (лг — — изменением математического ожи­

дания параметра х за время Д£; 2Д=АН + Ав — полем допуска (предполагается, что в момент t-t математиче­ское ожидание щ совпадает с серединой поля допуска).

Указанные величины удобно рассматривать в отно­сительных единицах, разделив их на сп. Тогда среднее квадратическое значение ошибки прогноза заменится на величину Кэф, определяемую по формуле (3.26), а Ар. и 2Д станут безразмерными величинами Ар и 26. Для безразмерных величин численным интегрированием на ЭВМ можно получить серию номограмм, определяющих

< А

Q, у л. о и Р. Одна из таких номограмм для 6 = 2 приве-

Л л

дена на рис. 3.4. Найдя по ней Q, Рл.0 и Р с учетом Q, определяемого номограммой на рис. 2.2, можно оцени­вать эффективность протноза по разным критериям.

Иногда удобна оценка достоверности прогноза отноше — л

нием Р/Q или оценка потерь при применении прогнози-

Л л

рования отношением Р + РЛ.01Р. Удобен и критерий оценки выигрыша от применения индивидуального прог-

л

позирования в виде отношения Q/Q, которое во многом определяется коэффициентом эффективности (3.26).

‘Рис. І3.4. Номограмма для определения вероятности: 1 — травильной. браишвки Р;_ 2 — ложного’ втааза Рд 0; 3— необнаружени. я " отказа Q ~ ‘

Например, для частоты вращения ротора авиадви­гателя при наработке ‘^ = 500 ч значение поля допуска 0,6 % в относительных единицах равно 2 (а; = 0,25 % определяем по рис. 2.1). Коэффициент эффективности прогноза КЭф~0,3 (см. табл. 6). За 100 ч наработки Др составит 0,19 (по рис. 2.1 определяем Ад ~ 0,12 % за 250 ч, а <*=0,25 %). Вероятность необяаружения отказа

с использованием индивидуального прогноза Q = 0,026 (по номограмме на рис. 3.4), а вероятность выхода за поле допуска без применения прогноза 0 = 0,05 (см. рис. 2.2). Таким образом, вероятность отказа при ис­пользовании индивидуального прогноза почти в 2 раза

ниже, чем без него (Q/Q~2). Заметим, что при увели­чении интервала контроля выигрыш от прогнозирования еще более увеличивается. Так, при Д(=200 ч по тем лее

номограммам Q/tQ = 2,6.

Ошибка прогноза <тп и, следовательно1, коэффициент его эффективности (3.26) во многом определяет метод прогнозирования. Решение о том, какой из методов по­строения xh наиболее целесообразен, должно прини­маться с учетом статистических характеристик процесса ■изменения параметра и допуска на его значение. Пояс­ним методику принятия таких решений, иллюстрируе­мую табл. 7. Так, можно не контролировать с целью выявления постепенных отказов, т. е. принимать в тече­ние всего срока эксплуатации

xh = xn (3.27)

те параметры х, у которых разброс значений мал по ■сравнению с полем допуска и которые не ,проявляют тенденции к изменению. Такому случаю соответствует первая строка табл. 7. Он характеризуется тем, что в любом і-м сечении 3(Тг<Д (ti = 1, 2,. .., L) и отклонения любой реализации от общего среднего невелики, т. е. Зд5‘<Д для всех / и p.; = const. Если строить прогноз до формуле (3.27), средняя квадратическая ошибка Предсказания

и>. (!!«)*+(<Т<)*. (3.28)

Удовлетворительные результаты прогнозирования по формуле ‘(3.27) могут получиться лишь для очень ста-

Статистиче­ские ХараКТе-

рИСТИКИ

бильных параметров, у которых сглаженное математи­ческое ожидание (тренд) ,не меняется, и колебания реа­лизаций относительно среднего хк невелики. Если сгла­женное математическое ожидание имеет явно выражен­ную тенденцию ‘(p, i=var), но колебания параметров от­носительно этого среднего невелики, то в качестве прогноза можно использовать среднее значение пара­метра в момент контроля, полученное на основании сведений о всех эксплуатируемых объектах:

А.

Такому случаю соответствует вторая строка табл. 7. Средняя квадратическая ошибка предсказания с учетом только общего для всех у тренда ц

ад=Оі. (3.30)

Удовлетворительные результаты такого прогнозиро­вания получаются, если Зог<Л и 3|Р<Л. Иногда, если изменение Др тренда за время между моментами конт­роля At мало, в качестве оценки щ используют резуль-

л

тат последнего контроля, полагая xii = u~xh— Этот «прогноз по последнему значению» имеет ошибку У (Др)2 + (сг;)2- Основываясь на таком методе прогнози­рования, часто считают, что если параметр сейчас нахо­дится в поле допуска, то до момента следующего конт­роля он из него не выйдет.

Несложная методика прогнозирования будет и в том случае, если в (3.21) использовать первые два члена, т. е. учитывать лишь сглаживание математического ожидания

л

ХН = [Хг~Ь|Ш (3.31)

Такому случаю соответствует третья строка та, бл. 7. Средняя квадратическая ошибка предсказания, когда учитываются значительные особенности каждой реали­зации р7, сравнимые с полем допуска Д, задается фор­мулой

ап = У{<иУ-№) (3.32)

_ 1 N

где (ц1)2—’—2 (1-tJ)2 — среднее значение квадрата поправки на N /=1

начальную настройку конкретного /-го объекта.

Такой прогноз практически нельзя улучшить для параметров авиатехники, имеющих слабую статистиче­скую связь отдельных результатов контроля на одном и том же объекте. В качестве примера в табл. 8 даны результаты экспериментального прогнозирования пара­метров авиадвигателя в ходе стендовых испытаний на авиационном ремонтном заводе (АРЗ). В четвертой колонке этой таблицы приведены оценки эффективности по формуле (3.31). Для удельного расхода топлива, у которого статистически результаты измерений связаны слабо (см. табл. 3), улучшить точность такого провози­мо

	Коэффициент — эффективности при. разных методах търогнюза
.Параметр	ПО ОД. НОЙ	реализации
без отра- ШЧЄ. НИЙ g	три	по форму­ле (З. Зі)	по формул ле (3.33)
1	2	3	4	Б
Частота вращения ротора	!0і,;37	0,3	0,28	0,17
авиадвигателя
Температура газов за турбиной	®!,37	0,28	‘0;24	ОД’9
Удельный расход топли-	1,01	0,53	0,321	ю, га
ва
Тяга авиадвигателя на «тенде	0.7S	0,4	0,35	0,29

рования не удается. В третьей и второй графах табл. 8 даны оценки точности прогнозов с учетом только резуль­татов измерения на конкретной j-й реализации хК Лю­бые методы сглаживания реализации х3 сводятся к ап­проксимации х3 полиномами степени g. Степень таких полиномов не следует выбирать большой,, так как хоро­шая точность сглаживания Xі плавной кривой не обеспе-

А

чивает хорошего совпадения х3’г с х3;.

Как видно из приводимых данных, для параметров авиадвигателя не следует аппроксимировать х3 более сложным способом, чем проведением прямой по методу наименьших квадратов ‘(g^l). Но и такая наилучшая методика сглаживания математического ожидания р3 всегда оказывается менее эффективной, чем прогноз по формуле (3.31), в которой аппроксимация среднего учи­тывает не только результаты измерений на /-м объекте {т, е. р3), но и данные об изменении среднего значения параметра х в процессе эксплуатации на всех других объектах (т. е. рг). Учет статистических связей между измерениями на одном объекте позволяет еще увеличить точность прогноза. Такому прогнозу,

А 1 а, .

хЦ = р,- + рг-|- 2ї0 [М—0 — К— в — 0-Л > (ЗЛ’З)

0=1 °/-0

соответствует четвертая строка табл. 7. Средняя квадратическая ошибка предсказания по формуле (3.33),

Пп=0′ У (ffi)2— Т[Р)2. (ЗЛ4)

Выигрыш а от учета результатов предыдущих измере­ний задается формулой (3.8) или может быть опреде­лен по номограмме на рис. 3.1. Достигаемые здесь точ­ность и эффективность прогнозирования иллюстрируют­ся данными в пятой графе табл. 8. Приводимые в; табл. 6 сведения о точности предсказания изменения параметров авиационной техники также относятся к прогнозу по формуле (3.33).

Отметим, что реализация различных методов прогно­зирования выдвигает и различные требования к исход­ному материалу, на основании которого строится прог­ноз. Достоверно определить р; и, следовательно, исполь­зовать формулу (3.27) молено, если в каждом сечении (при каждом І) имеются данные о контроле не менее 10—12 однотипных объектов авиатехники. Применение формулы (3.31) оправдано, если,, помимо этого, на прог­нозируемой /-й реализации имеется 10—12 результатов предыдущего эксплуатационного контроля именно /-го объекта. Эффективно использовать прогноз (3.33) мож­но лишь тогда, когда достоверно определены корреля­ционные функции Rp при р= 1, 2,…, I. Это достигает­ся, если имеются данные xh и xh+p о результатах конт­роля /-го объекта, отстоящих друг от друга на р шагов, для 10—12 однотипных объектов.

В формуле (3.33) не следует брать слишком большого числа /, поскольку корреляционная функция Rv строит­ся по данным ограниченного объема, а ошибка, вызван­ная неточностью определения уе, быстро растет с уве­личением р. На рост ошибок из-за низкой точности определения у з обращают внимание многие исследова­тели, непосредственно связанные с обработкой реальных данных на ЭВМ. Результаты ‘исследований кратко сво­дятся к следующему: точность тем хуже, чем более сложная модель наблюдаемого процесса принята за основу. Чтобы избежать ошибок, необходимо ограничи­ваться теми наименьшими значениями степеней g и q,. а также числа I, которые обеспечивают удовлетворение статистик (2.11), (2.15) и (3.7). Если принять более сложные гипотезы о структуре, наблюдаемых последова-

ТеЛЬН’ОСТеЙ Xi, то ошибки могут только возрасти. При экспериментальных расчетах для параметров авиатех­ники статистика (3.7), ограничивающая величину /, удовлетворяется при lt^L.2. Степени g не превышают ‘единицы, а д—двух.

Не следует также переусложнять модель изменения параметров авиатехники в эксплуатации, полагая про­цесс х нестационарным., т. е. функцию Rv изменяющей­ся по наработке. Определить достоверно RVi для раз­ных і можно только по статистике огромного объема. Но практически это и не требуется. Расчеты, связанные с проверкой стационарности последовательностей ре­зультатов эксплуатационного контроля параметров авиа­техники по данным, собранным в эксплуатирующих ор­ганизациях ГА, подтверждают, что корреляционные функции Rp не меняются со временем, т. е. задавае­мые формулой (3.1), являются стационарными случай­ными последовательностями [25].